Exercício 7

Resolve a letra A, por favor, assim teremos um exemplo para as próximas questões. Obrigado.

HAHA, VALEU por postar aqui, let's que let's:

O exercício é: resolver a inequação |X + 2| + |X - 7| ≥ 2X + 1.

Se liga, pra resolver esse tipo de inequação, a gente tem que dividir em quatro casos (e é aqui que eu choro por que esse fórum não aceita LaTeX):

i) Se X + 2 > 0,  X - 7 > 0, temos que X > -2 e X > 7 e portanto, como 7 > -2, podemos escrever somente X > 7. Segue que X + 2 + X - 7 ≥ 2X + 1 ⇒ 2X - 5 ≥ 2X + 1 ⇒ 0 ≥ 6. Isso CLARAMENTE é um absurdo, portanto não existem soluções nesse caso;

ii) Se X + 2 > 0, X - 7 < 0, então X > -2 e X < 7, daí X ∈ (-2, 7). Usando nossas suposições na inequação temos X + 2 + 7 - X ≥ 2X + 1 ⇒ 9 ≥ 2X + 1 ⇒ 4 ≥ X. Portanto, juntando nossas restrições inicias com a solução da inequação, nosso primeiro conjunto solução se trata do intervalo S1 = [4, 7);

iii) Se X + 2 < 0, X - 7 > 0, então X < -2 e X > 7, o que claramente não pode acontecer, portanto já descartamos esse caso;

iv) Por fim, se X + 2 < 0, X - 7 < 0, então X < -2 e X < 7, como -2 < 7 podemos só escrever que X < -2. Utilizando nossas suposições na equação segue que - X - 2 + 7 - X ≥ 2X + 1 ⇒ - 2X + 5 ≥ 2X + 1 ⇒ 4 ≥ 4X ⇒ 1 ≥ X. Como para que chegássemos nesse resultado já assumimos X < -2, e essa condição satisfaz a inequação, esse será nosso segundo conjunto solução: S2 = (-∞, -2).

Logo, nosso conjunto solução total será a união de todos os conjuntos soluções individuais: S = S1 ∪ S2 = (-∞, -2) ∪ [4, 7).