exercício 3

Você pode fazer o (b) e o (c)?
Obrigadaaa!

UHUL os exercícios mais legais, demonstração.
Belê, vamos lá:

b) Da desigualdade (a - b)² ≥ 0, sabemos que a² + b² ≥ 2ab. Assim, podemos somar 2ab dos dois lados da desigualdade e chegamos em a² + 2ab + b² ≥ 4ab ⇒ (a + b)² ≥ 4ab. Como a ≥ 0 e b ≥ 0, podemos extrair a raíz quadrada dos dois lados e assim teremos a + b ≥ 2*sqrt(ab), dividindo, por fim, os dois lados por 2, temos a desigualdade desejada: (a + b)/2 ≥ sqrt(ab).

OBS: sqrt(x) é a raíz quadrada de x, * significa multiplicação e / significa fração (parte da esquerda é o numerador e parte da direita é denominador)

c) A letra c) depende também da desigualdade demonstrada na letra anterior, de que a² + b² ≥ 2ab, afinal, uma vez que temos isso basta dividirmos os dois lados por ab (sabemos que a > 0 e que b > 0, portanto ab > 0 e podemos dividir sem nos preocupar) e assim chegamos em a/b + b/a ≥ 2.

Tem como fazer a demonstração saindo de alguma parte da conta que o ex. dá?

Como assim? Você diz tipo, na letra b, sair de a ≥ 0 e b ≥ 0?

Aliás, vi que cometi um erro na demonstração ali em cima num produto notável que desenvolvi errado, mas arrumei

Assim, sair do (a+b)/2 e chegar em algum lugar

Ah, saquei. Eu não consegui pensar em nenhum jeito pra falar a real, acho que dá mas seria mais contra-intuitivo do que fazer desse jeito.